已知A、B、C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,这向量m=(cosB,sinC),n=(cosC,−sinB),且m•n=1/2. (1)求内角A的大小; (2)若a=23,求△ABC面
题目
已知A、B、C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,这向量
=(cosB,sinC),=(cosC,−sinB),且
•=.
(1)求内角A的大小;
(2)若a=2
,求△ABC面积S的最大值.
答案
(1)∵
•=cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=
,…(3分)
又A、B、C为三角形的三个内角,
∴B+C=60°,∴A=120°.…(7分)
(2)∵a=2
,a
2=b
2+c
2-2bccosA,
∴b
2+c
2+bc=12,…(10分)
又b
2+c
2≥2bc(当且仅当b=c时取“=”),
∴12≥3bc,
∴bc≤4…(12分)
∴S=
bcsinA=
bc≤
×4=
.…(13分)
∴当b=c时,三角形ABC的面积S的最大值为
.…(14分)
(1)由题意,可由数量积公式及
•=建立方程,得到cosBcosC-sinBsinC=
,再利用余弦的和角公式化简即可得角A;
(2)由a=2
及(1)可得b
2+c
2+bc=12,由S=
bcsinA知,可由基本不等式由b
2+c
2+bc=12求出bc的最大值,从而解出三角形面积的最大值.
平面向量数量积的运算;正弦定理;解三角形.
本题考点是解三角形,考查数量积的坐标表示做工,基本不等式的运用,余弦定理,余弦的和角公式,涉及到的公式较多,综合性较强,解题的关键是熟练掌握公式及由题意判断出解题的方向,本题的难点是由三角形的面积公式得出利用基本不等式求bc的最值,本题考察了利用公式灵活变形的能力及判断推理的能力
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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