若a、b、x、y均为正实数,并且x+y=1,求证:ab≤(ax+by)(ay+bx)≤(a+b)24.
题目
若a、b、x、y均为正实数,并且x+y=1,求证:ab≤(ax+by)(ay+bx)≤
(a+b)
答案
证明:∵(ax+by)(ay+bx)-ab=a 2xy+b 2xy+abx 2+aby 2-ab =xy(a 2+b 2)+ab(x 2+y 2-1) =xy(a 2+b 2)+ab[(x+y) 2-2xy-1]. ∵a、b、x、y均为正实数,x+y=1, ∴(ax+by)(ay+bx)-ab =xy(a 2+b 2)-2abxy =xy(a-b) 2≥0, ∴ab≤(ax+by)(ay+bx). 又(ax+by)(ay+bx)≤ []2= []2= ()2= . ∴ab≤(ax+by)(ay+bx)≤ .
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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