X^4+131=Y^4 X Y都是整数 如何证明这个方程不可能成立

题目

X^4+131=Y^4 X Y都是整数 如何证明这个方程不可能成立

答案

可以这样证明：
原方程移项得：
y^4-x^4=131
(y²+x²)(y²-x²)=131
由于131是个质数,且(y²+x²)>(y²-x²),所以只能是：
y²+x²=131
y²-x²=1
上述两式相加,得：
2y²=132
y²=66
显然,66不是完全平方数,则开方后的y必定是个无理数,同理,将两式相减可得：
2x²=130
x²=65
显然,65不是完全平方数,则开方后的x必定是个无理数.
至此,原命题成立.