若函数f(x)=lg(ax2+ax+1)的值域为R,则a的取值范围是_.

若函数f(x)=lg(ax2+ax+1)的值域为R,则a的取值范围是_.

题目
若函数f(x)=lg(ax2+ax+1)的值域为R,则a的取值范围是______.
答案
∵f(x)的值域为R,令g(x)=ax2+ax+1,
∴g(x)=ax2+ax+1的值域为[0,+∞),
①当a=0时,g(x)=1,∴a≠0,
②当a≠0时,必须
a>0
△=a2−4a≥0

解得:a≥4,
故a的取值范围为[4,+∞).
函数f(x)=lg(ax2+ax+1)的值域为R,就是g(x)=ax2+ax+1的值域为[0,+∞),分a=0与a≠0两种情况讨论即可.

二次函数的性质;对数函数的定义域;对数函数的值域与最值.

本题考查二次函数的性质,难点在于对g(x)=ax2+ax+1的值域为[0,+∞)的理解与应用,常与函数f(x)=lg(ax2+ax+1)的定义域为R相混淆,也是易错点,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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