定积分(0,1)x^3*根号下(2+x^2)dx
题目
定积分(0,1)x^3*根号下(2+x^2)dx
给个思路就行.
答案
做法一:凑微分.
∫(0→1) x³√(2 + x²) dx
= ∫(0→1) [(2 + x²) - 2]√(2 + x²) d(x²/2)
= (1/2)∫(0→1) [(2 + x²)^(3/2) - 2√(2 + x²)] d(2 + x²),凑微分是不同转变积分限的
= (1/2)[(2/5)(2 + x²)^(5/2) - (4/3)(2 + x²)^(3/2)]:[0→1]
= (1/2)[(2/5)3^(5/2) - (4/3)3^(3/2)] - (1/2)[(2/5)2^(5/2) - (4/3)2^(3/2)]
= (8√2)/15 - (√3)/5
做法二:第二换元法.
先令x = √2 tanz,dx = √2sec²z dz
当x = 0,z = 0
当x = 1,z = arctan(1/√2)
∫(0→1) x³√(2 + x²) dx
= ∫ (√2 tanz)³ * √(2 + 2tan²z) * √2sec²z dz、0 ≤ z ≤ arctan(1/√2)
= 4√2∫ tan³z * sec³z dz
= 4√2∫ tan²zsec²z * secztanz dz
= 4√2∫ (sec²z - 1)sec²z d(secz)
= 4√2∫ (sec⁴z - sec²z) d(secz)
= 4√2 * [(1/5)sec⁵z - (1/3)sec³z]
= 4√2 * [(1/5)(√3/√2)⁵ - (1/3)(√3/√2)³] - 4√2 * [(1/5) - (1/3)]
= (8√2)/15 - (√3)/5
tanz = 1/√2
secz = √(tan²z + 1) = √(1/2 + 1) = √3/√2
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 2分钟英语小故事,
- 【高中化学】PH计算中,完全中和和恰好中和有区别么?
- 已知圆柱的高是8厘米,过底面圆心垂直切一刀,把圆柱分成相等的两半,表面积增加96平方厘米求圆柱的体积?
- 已知三角形的三边为a,b,c和面积S=a^2-(b-c)^2,则 cosA=?
- logx(2+1)=−1,则x=_.
- 1g/cm³=( )kg/m³
- 已知a是最小的正整数,b,c是有理数,且/2+b/+(3a+2c)的2次方=0,求负a的2次方+c的2次方+4分之4ab+c
- 当x=2006时,(x-1)2005除以2006的余数是2005为什么
- 62.5*0.16+2640*0.0625+5.2*6.25+0.625*20
- 40:60的比值是多少?