已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直． （1）求实数a，b的值； （2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

题目

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式 …（1分）f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分）由条件f′(1)•(−19)＝−1，即3a+2b＝9②式…（5分）由①②式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2...

（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为-1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．

本题考点：函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．

考点点评：注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为-1．