如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，BD=CE，M是AC边的中点， 求证：△DEM是等腰三角形．

题目

如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，BD=CE，M是AC边的中点，
求证：△DEM是等腰三角形．

答案

证明：连接BM，
因为AB=BC，AM=MC，
所以BM⊥AC，且∠ABM=∠CBM=

1

2

∠ABC=45°，
因为AB=BC，
所以∠A=∠C=

180°−∠ABC

2

=45°，
所以∠A=∠ABM，所以AM=BM，
因为BD=CE，AB=BC，所以AB-BD=BC-CE，即AD=BE，
在△ADM和△BEM中，

AD＝BE ∠A＝∠EBM＝45° AM＝BM

，
所以△ADM≌△BEM（SAS），
所以DM=EM，
所以△DEM是等腰三角形．

根据AB=BC，AM=MC，得出BM⊥AC，且∠ABM=∠CBM=

1

2

∠ABC=45°，进而得出△ADM≌△BEM，即可得出DM=EM．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．

考点点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出△ADM≌△BEM是解题关键．