求矩阵 1 1 1 1 a b c d a2 b2 c2 d2 a4 b4 c4 d4 a2表示a的平方 类推

题目

求矩阵 1 1 1 1 a b c d a2 b2 c2 d2 a4 b4 c4 d4 a2表示a的平方 类推
1 1 1 1
a b c d
a2 b2 c2 d2
a4 b4 c4 d4

答案

作辅助行列式 D1 =
1 1 1 1 1
a b c d x
a2 b2 c2 d2 x2
a3 b3 c3 d3 x3
a4 b4 c4 d4 x4
由行列式展开定理可知, 这个行列式的x^3的系数*(-1)^(4+5)就是原行列式
由范德蒙行列式的结论,
D1 = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).
x^3 的系数为 -(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).
所以原行列式 D =(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).
有不清楚的地方请追问, 没问题请采纳 ^-^.