在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,过点C作直线l∥AB,F是l上的一点,且AB=AF,则点F到直线BC的距离为 _ .
题目
在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,过点C作直线l∥AB,F是l上的一点,且AB=AF,则点F到直线BC的距离为 ___ .
答案
(1)如图,延长AC,作FD⊥BC交点为D,FE垂直AC延长线于点E,
∵CF∥AB,∴∠FCD=∠CBA=45°,
∴四边形CDFE是正方形,
即,CD=DF=FE=EC,
∵在等腰直角△ABC中,AC=BC=1,AB=AF,
∴AB=
=
,
∴AF=
;
∴在直角△AEF中,(1+EC)
2+EF
2=AF
2∴
(1+DF)2+DF2=()2,
解得,DF=
;
(2)如图,延长BC,做FD⊥BC,交点为D,延长CA,做FE⊥CA于点E,
同理可证,四边形CDFE是正方形,
即,CD=DF=FE=EC,
同理可得,在直角△AEF中,(EC-1)
2+EF
2=AF
2,
∴
(FD-1)2+FD2=()2,
解得,FD=
;
故答案为:
.
如图,延长AC,做FD⊥BC交点为D,FE⊥AC,交点为E,可得四边形CDFE是正方形,则,CD=DF=FE=EC;等腰Rt△ABC中,
∠C=90°,AC=1,所以,可求出AC=1,AB=
,又AB=AF;所以,在直角△AEF中,可运用勾股定理求得DF的长即为点F到BC的距离.
勾股定理;等腰直角三角形.
本题考查了勾股定理的运用,通过添加辅助线,可将问题转化到直角三角形中,利用勾股定理解答;考查了学生的空间想象能力.
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