已知数列an的前n项和Sn=3^n+t,求证:t=-1是an为等比数列的充要条件

题目

已知数列an的前n项和Sn=3^n+t,求证:t=-1是an为等比数列的充要条件

答案

充分性：
若t=-1,那么Sn=3^n-1
a1=S1=3-1=2
当n≥2时,an=Sn-S(n-1)=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)
上式对n=1也成立
即an=2*3^(n-1)
a(n+1)/an=2*3^n/[2*3^(n-1)]=3
所以{an}为等比数列,公比为3
必要性:
若{an}为等比数列,
a1=S1=3+t,
a2=S2-S1=3^2+t)-(3+t)=6
a3=S3-S2=(3^3+t)-(3^2+t)=18
∵{an}为等比数列
∴a2/a1=a3/a2
即6/(t+3)=18/6=3
∴t+3=2,
t=-1
∴
t=-1是an为等比数列的充要条件