已知二次函数f(x)=ax方+x+1对x属于(0,2)恒有f(x)>0,求实数a的取值范围

题目

已知二次函数f(x)=ax方+x+1对x属于(0,2)恒有f(x)>0,求实数a的取值范围

答案

二次函数f(x)=ax²+x+1对称轴为x=-1/(2a)
f(x)在(0,2)上恒有f(x)>0,则必有a>0,开口向上
对方程ax²+x+1=0,△=1-4a
当△1/4时,函数与x轴无交点,f(x)>0在定义域内恒成立；
当△≥0,即a≤1/4时,函数与x轴有交点,需解出函数与x轴的交点坐标
方程解为x1=[-1-√(1-4a)]/(2a),x2=[-1+√(1-4a)]/(2a)
∵a>0,∴x1≤x2； 当x2≤0或x1≥2时,f(x)>0成立,
即[-1+√(1-4a)]/(2a)≤0或[-1-√(1-4a)]/(2a)≥2
解得,00