已知f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值．（2）证明：对任意的实数b，函数y=f（x）图象与直线y=-3/2x+b最多只有一个公共点．

题目

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值．
（2）证明：对任意的实数b，函数y=f（x）图象与直线y=-

3

2

答案

（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
∵log₄（4^-x+1）=log₄（

4x+1

4x

）=log₄（4^x+1）-log₄4^x=log₄（4^x+1）-x，
∴log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx，
即2k+1=0
∴k=-

1

2

证明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x
令y=log₄（4^x+1）-x
由于y=log₄（4^x+1）-x为减函数，且恒为正
故当b＞0时，y=log₄（4^x+1）+

3

2

x-b有唯一的零点，此时函数y=f（x）的图象与直线有一个交点，
当b≤0时，y=log₄（4^x+1）+

3

2

x-b没有零点，此时函数y=f（x）的图象与直线没有交点
对任意的实数b，函数y=f（x）图象与直线y=-

3

2

x+b最多只有一个公共点．