已知f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求实数k的值.(2)证明:对任意的实数b,函数y=f(x)图象与直线y=-3/2x+b最多只有一个公共点.

已知f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求实数k的值.(2)证明:对任意的实数b,函数y=f(x)图象与直线y=-3/2x+b最多只有一个公共点.

题目
已知f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求实数k的值.
(2)证明:对任意的实数b,函数y=f(x)图象与直线y=-
3
2
答案
(1)∵f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
∴f(-x)=f(x)
即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx
∵log4(4-x+1)=log4
4x+1
4x
)=log4(4x+1)-log44x=log4(4x+1)-x,
∴log4(4x+1)-(k+1)x=log4(4x+1)+kx,
即2k+1=0
k=-
1
2

证明:(2)由(1)得f(x)=log4(4x+1)-
1
2
x
令y=log4(4x+1)-x
由于y=log4(4x+1)-x为减函数,且恒为正
故当b>0时,y=log4(4x+1)+
3
2
x-b有唯一的零点,此时函数y=f(x)的图象与直线有一个交点,
当b≤0时,y=log4(4x+1)+
3
2
x-b没有零点,此时函数y=f(x)的图象与直线没有交点
对任意的实数b,函数y=f(x)图象与直线y=-
3
2
x+b最多只有一个公共点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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