有界函数和无界函数与可积的关系

题目

有界函数和无界函数与可积的关系
可积函数一定是有界的,有界是可积的必要不充分条件.可是无界函数也有积分的呀.这是怎么个关系呀?
还有一个小问题：e^(-x^2)的原函数是什么呀?

答案

其实根据黎曼积分的定义,
可以证明：（黎曼积分的必要条件）
函数无界必不可积.
所谓无界函数的有积分,
其实是反常积分,
本质是“变限积分的极限值”.
很有内涵,记住：“变限积分的极限值”!
并非积分本身.
关于e^(-x^2)
课本上应该强调了,该函数是
“积不出的”,即其原函数不能用
基本初等函数{幂函数,指数函数,对数函数,三角函数}表示.
注意!“积不出的”与“不可积”是两码事,
显然此函数是可积的.
这些东西很多学生都在迷惑,关于“积不出函数”为什么“积不出”,相关证明很高深,涉及到函数论的内容.