已知m，n是两个连续自然数（m＜n），且q=mn．设p＝q+n+q−m，证明：p总是奇数．

题目

已知m，n是两个连续自然数（m＜n），且q=mn．设p＝

q+n

+

q−m

，证明：p总是奇数．

答案

证明：∵m，n是两个连续自然数，且m＜n，
∴n=m+1，q=mn=m（m+1）=m²+m，
∴p=

q+n

+

q−m

=

m2+m+m+1

+

m2+m−m

=

(m+1)2

+

m2

，
∵m是自然数，
∴m≥0，m+1＞0，
∴p=

(m+1)2

+

m2

=m+1+m=2m+1，
∴p总是奇数．

首先根据题意推出n=m+1，即可求出q关于m的表达式，然后把q=m²+m，n=m+1，代入到p的表达式，推出p=

(m+1)2

+

(m)2

，通过m为自然数，即可求出m≥0和m+1＞0，最后根据根式的性质对根式进一步化简，即可推出p=2m+1，由此可知p总是奇数．

本题考点：二次根式的化简求值．

考点点评：本题主要考查二次根式的性质，二次根式的化简，奇数的性质等知识点，关键在于通过题意推出n和q关于m的表达式，通过等量代换推出p=

(m+1)2

+

m2

，根据m和m+1的取值范围正确的对二次根式进行化简．