计算二重积分 ∫∫(√x^2+y^2)dxdy,其中D={(x,y)|0

题目

计算二重积分 ∫∫(√x^2+y^2)dxdy,其中D={(x,y)|0<=x^2+y^2<=π^2}

答案

利用极坐标变换吧,积分区域恰为以原点为圆心,以π为半径的圆
x=rcosθ,y=rsinθ,则dxdy=rdrdθ
所以∫∫D(√x^2+y^2)dxdy
=∫[0,2π]dθ∫[0,π]r^2dr
=π^3/3*∫[0,2π]dθ
=2π^4/3