求xe^(-x)、e^x/(1+e^2x)、1/(x^2+2x+2)、1/[x(2x^2-1)^1/2]、arctanx/x^2的不定积分
题目
求xe^(-x)、e^x/(1+e^2x)、1/(x^2+2x+2)、1/[x(2x^2-1)^1/2]、arctanx/x^2的不定积分
答案
∫xe^(-x) dx
=-∫x de^(-x)
=-xe^(-x)+∫e^(-x) dx
=-xe^-x-e^(-x)+C
=-(x+1)e^(-x)+C
∫e^x/(1+e^2x) dx
=∫1/(1+e^2x) d(e^x)
=arctan(e^x)+C
∫1/(x²+2x+2) dx
=∫1/[(x+1)²+1] d(x+1)
=arctan(x+1)+C
∫1/[x√(2x²-1)] dx
=∫1/[2x²√(2x²-1)] d(x²)
=∫1/[2x²*2√(2x²-1)] d(2x²-1)
=∫1/(2x²) d√(2x²-1)
=∫1/{1+[√(2x²-1)]²} d√(2x²-1)
=arctan√(2x²-1)+C
∫arctanx/x² dx
=-∫arctanx d(1/x)
=-arctanx/x+∫1/x d(arctanx)
=-arctanx/x+∫1/[x(1+x²)] dx
=-arctanx/x+∫1/x dx-∫x/(1+x²) dx
=-arctanx/x+ln|x|-(1/2)∫1/(1+x²) d(1+x²)
=-arctanx/x+ln|x/(1+x²)|+C
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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