在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+.+nan=(n+1)(an+1)/2,求{an}的通项

题目

在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+.+nan=(n+1)(an+1)/2,求{an}的通项
an+1是指a的n+1项

答案

a1=1,a1+2a2+3a3+.+nan=(n+1)(a(n+1))/2,
令n=1得：a1=2a2/2,a2=1.
当n≥2时,a1+2a2+3a3+.+(n-1)a(n-1)=na(n)/2,
两式相减得：nan=(n+1)(a(n+1))/2 -na(n)/2,
3na(n)/2=(n+1)(a(n+1))/2,
a(n+1) /a(n)= 3n/(n+1)( n≥2),
所以a3/a2=3•2/3,
a4/a3=3•3/4,
a5/a4=3•4/5,
…………
a(n) /a(n-1)= 3(n-1)/n
以上各式相乘得：a(n) / a2=3^(n-2)•2/n( n≥2),
a(n)=3^(n-2)•2/n ( n≥2),
综上可知：n=1时,a(n)=1.
n≥2时,a(n)=3^(n-2)•2/n.