椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两点A、B满足OA垂直于OB(O为坐标原点),求证:O到直线AB距离为定值

椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两点A、B满足OA垂直于OB(O为坐标原点),求证:O到直线AB距离为定值

题目
椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两点A、B满足OA垂直于OB(O为坐标原点),求证:O到直线AB距离为定值
第一问求出来1/OA^2+1/OB^2为定值,为(a^2+b^2)/(a^2b^2)
答案
设A(x1,y1)B(x2,y2)
根据题意y1/x1*y2/x2=-1
即x1x2+y1y2=0
设MN方程:y=kx+m代入椭圆b²x²+a²y²=a²b²
整理:(a²k²+b²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0
韦达定理:x1+x2=-2kma²/(a²k²+b²),x1*x2=(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²
x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=0
(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)+k²(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)-2k²m²a²/(a²k²+b²)+m²=0
化简:(a²+b²)m²=a²b²(1+k²)
m²/(1+k²)=a²b²/(a²+b²)
|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)
点O到直线MN的距离d=|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)为定值
1/OA²+1/OB²=(OA²+OB²)/(OA²*OB²)=AB²/(AB*d)²=1/d²=1/[a²b²/(a²+b²)]
=(a²+b²)/(a²b²)=1/a²+1/b²
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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