sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β这个公式怎么证明 注：不要用积化和差或欧拉公式 最好用图形说明

题目

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β这个公式怎么证明 注：不要用积化和差或欧拉公式 最好用图形说明

答案

作单位圆O,∠AOB＝ß,∠BOC＝ạ,半径OA＝OB＝OC＝R,
AD⊥OC于D,交OB于E,AF⊥OB于F,∠EAF=∠BOC=ạ
求证：sin(ạ+ß)=sinạcosß+sinßcosạ,
sin(ạ+ß)=(AE+ED)/R
∵AF/AE=cosạ,  AF=Rsinß,   ∴AE=AF/cosạ=Rsinß/cosạ,
∵ED=OEsinạ, OE=OF-EF, OF=Rcosß, EF=AEsinạ=Rsinạsinß/cosạ,
∴OE=OF-EF=Rcosß-Rsinạsinß/cosạ, 
ED=OEsinạ=(Rcosß-Rsinạsinß/cosạ)*sinạ=Rsinạcosß-Rsinạ²ạsinß/cosạ,
∴sin(ạ+ß)=(AE+ED)/R
        =(Rsinß/cosạ+Rsinạcosß-Rsinạ²ạsinß/cosạ)/R
        = sinß/cosạ+sinạcosß-sin²ạ sinß/cosạ 
              =sinạcosß+sinß/cosạ(1-sin²ạ)
             =sinạcosß+cosạ²sinß/cosạ
             =sinạcosß+sinßcosạ.