已知函数f（x）=sinx+cos（x+t）为偶函数，且t满足不等式t2-3t-40＜0，则t的值为_．

题目

已知函数f（x）=sinx+cos（x+t）为偶函数，且t满足不等式t²-3t-40＜0，则t的值为______．

答案

因为f（x）为偶函数，
所以f（-x）=sin（-x）+cos（t-x）=-sinx+cos（x-t）=f（x）=sinx+cos（x+t），
即2sinx=cos（x-t）-cos（x+t）
整理可得：cosxcost+sinxsint-cosxcost+sinxsint=2sinxsint
所以sint=1，
所以t=

π

2

+2kπ．
又因为t满足不等式t²-3t-40＜0，
所以-5＜t＜8，
所以t=−

3π

2

或

π

2

或

5π

2

．
故答案为−

3π

2

或

π

2

或

5π

2

．