证明函数f（z）在区域D内解析,且|f(z)|在D内恒为常数.则f（z）在D内恒为常数

题目

证明函数f（z）在区域D内解析,且|f(z)|在D内恒为常数.则f（z）在D内恒为常数

答案

设f(z)= u(x,y) + i v(x,y).
若|f(z)|=0, 则推出: f(z)=0.结论正确.
若|f(z)|≠0,
而|f(z)|在D内恒为常数,表示: {u(x,y)}^2 +{v(x,y)^2} = 常数≠0. (**)
求偏导,并以:u'(x) 表示u(x,y) 对x的偏导数.
有:2uu'(x) +2vv'(x) =0 (1)
2uu'(y) +2vv'(y) =0 (2)
由于f(z)解析,故u,v 满足C---R条件. u'(x) = v'(y), u'(y) = - v'(x)
代入(1), (2) 得:
uu'(x) - vu'(y) = 0 (3)
uu'(y) + vu'(x) =0 (4)
由于:(**) u^2 +v^2 ≠0, 由(3) (4) 解得:u'(x) ≡ 0, u'(y) ≡ 0.
从而推出:u(x,y) ≡ C1 . (常数)
同理可推出:v(x,y) ≡C2. (常数)
从而知:f(z)≡ C1 +iC2
命题因此得到证明.