已知直线经过点P（1,1） ,倾斜角30度 设L于圆x*x+y*y=4相交与亮点A,B求点求P到A,B两点的距离之积

题目

已知直线经过点P（1,1） ,倾斜角30度 设L于圆x*x+y*y=4相交与亮点A,B求点求P到A,B两点的距离之积

答案

P到A,B两点的距离之积为2
由题意得直线L的方程为y-1=(x-1)/sqrt(3),即sqrt(3)*y-x+1-sqrt(3)=0,设坐标原点为O,过O点做直线L的垂线,垂足为C,即OC的长度即为O到直线L的距离,
则|OC|=|1-sqrt(3)|/sqrt(sqrt(3)^2+(-1)^2)
=(sqrt(3)-1)/2
设弦长AB的长度为d,P到A点的距离为d1,P到B点的距离为d-d1,
而d/2=sqrt(2^2-|OC|^2)
=sqrt(3+sqrt(3)/2)
而OP得长度为|OP|=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2),
所以CP的长度|CP|=sqrt(|OP|^2-|OC|^2)=sqrt(1+sqrt(3)/2)
所以P到A,B两点的距离之积
|PA|*|PB|
=(d/2-|CP|)*(d/2+|CP|)
=(d/2)^2-|CP|^2
=3+sqrt(3)/2-(1+sqrt(3)/2)
=2