高等数学的空间解析几何题

题目

高等数学的空间解析几何题
求过点M(1,2,5)且与直线L1(x-1)/2=(y-1)/3=(z-5)/3=2相交,并和向量j={0,1,0}成45度的直线方程
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答案

设与L1的交点为
(1+2t, 1+3t, 5+3t),那么直线的方向向量为
(2t, 3t-1, 3t)（减去M点的坐标）
依题意,(2t,3t-1,3t)与(0,1,0)成45度角,利用向量的内积公式,得
3t-1 = ( ((2t)^2 + (3t-1)^2 + (3t)^2)/2 )^{1/2}
或3t-1 = -( ((2t)^2 + (3t-1)^2 + (3t)^2)/2 )^{1/2}
（因为方向向量的夹角无论是45度还是135度,对于直线来说,夹角都是45度,所以可正可负）
平方,展开得
(3t-1)^2 = (2t)^2 + (3t)^2
解出来有两个根,
t1 = (-3+(13)^{1/2})/4
t2 = (-3 - (13)^{1/2})/4
最后的直线方程是(x-1)/2t = (y-2)/(3t-1) = (z-5)/3t,把t用上面的t1, t2代入即可