已知椭圆C:a平方分之x平方＋b平方分之y平方＝1 (a＞b＞0的左焦点为F1（-1,0）,离心率为2分之根号2,直线Y=k(x+1)与椭圆C交于不同的两点P,Q.问1 椭圆C方程.问2 若op垂直于

题目

已知椭圆C:a平方分之x平方＋b平方分之y平方＝1 (a＞b＞0的左焦点为F1（-1,0）,离心率为2分之根号2,直线Y=k(x+1)与椭圆C交于不同的两点P,Q.问1 椭圆C方程.问2 若op垂直于OQ O是原点,求k的值.（尽量用数学符号表示.求质量.二十分钟内）

答案

F1(-1,0),故有c=1,又有e=c/a=根号2/2,故有a=根号2
b^2=a^2-c^2=2-1=1
故椭圆方程是x^2/2+y^2=1
y=k(x+1)代入得到x^2+2k^2(x^2+2x+1)=2
(1+2k^2)x^2+4k^2x+2k^2-2=0
x1+x2=-4k^2/(1+2k^2),x1x2=(2k^2-2)/(1+2k^2)
y1y2=k^2(x1x2+(x1+x2)+1)=k^2*(-4k^2+2k^2-2+1+2k^2)/(1+2k^2)=-k^2/(1+2k^2)
由于OP垂直于OQ,则有x1x2+y1y2=0
即有(2k^2-2)/(1+2k^2)-k^2/(1+2k^2)=0
即有2k^2-2-k^2=0
k^2=2
k=土根号2.