函数不可积是什么情况

题目

函数不可积是什么情况
有界函数不一定可积为什么,

答案

楼上的例子是正确的,但理论依据是错误的.
数学分析里面指出,如果在定义域内有有限的不连续点,则函数可被黎曼积分.
但如果不连续点的数目是无穷的,则函数不能被黎曼积分.
设f(x) = 1若x为有理数且f(x)=0若x为无理数,则f(x)在[0,1]上黎曼不可积 (其他积分方法仍然可能成立)
分析:因为有理数和无理数在[0,1]内都是稠密的,所以无论如何对[0,1]进行分割,在每段小区间内总有有理数和无理数,所以函数在此区间内的最小值是0,最大值是1,所以求和上限的极限是1,求和下限的极限是0,两者不收敛于同一个值,所以黎曼不可积.