设实数X,Y满足3≤XY^2≤8,4≤X^2/Y≤9,求X^3/Y^4的最大值

题目

设实数X,Y满足3≤XY^2≤8,4≤X^2/Y≤9,求X^3/Y^4的最大值
可设a=xy²,b=x²/y.
由此可知：
(x³)/(y^4)=b²/a
由题设可得：
①3≦a≦8.
∴1/8≦1/a≦1/3.
②4≦b≦9.
∴16≦b²≦81.
两式相乘,可得：
2≦b²/a≦27.
即：2≦x³/(y^4) ≦27.
∴[x³/(y^4)]max=27.
答案就是27.
我想问的是 这种解法中 为什么在b²取到最大值的同时可以取到a的最小值?

答案

方程组
x^2 /y =9
xy^2 =3
有解 x=3,y=1
所以
b取到最大值(也就是b²取到最大值)的同时可以取到a的最小值
如果上面方程组无解,这种解法中 就不行了.