如图四棱锥p-ABCD中,底面ABCD,是矩形,PA⊥底面ABCD,PA= AB=√2,点E是棱PB的 中点,证明PB⊥平面PBC

题目

如图四棱锥p-ABCD中,底面ABCD,是矩形,PA⊥底面ABCD,PA= AB=√2,点E是棱PB的 中点,证明PB⊥平面PBC
是证AE⊥平面PBC,上面打错了,请教此题用向量的方法如何解答。谢谢老师。

答案

方法一：
∵PA⊥平面ABCD,∴BC⊥PA.
∵ABCD是矩形,∴BC⊥AB.
由BC⊥PA、BC⊥AB、PA∩AB＝A,得：BC⊥平面PAB,而AE在平面PAB上,∴AE⊥BC.
∵PA＝AB、PE＝BE,∴AE⊥PB.
由AE⊥BC、AE⊥PB、BC∩PB＝B,得：AE⊥平面PBC.
方法二：向量证法［这种方法比上面的方法的书写量要多一些］
∵PA⊥平面ABCD,∴向量AP⊥向量BC,向量AP⊥向量AB,
∴向量AP·向量BC＝0,向量AP·向量AB＝0.
又ABCD是正方形,∴向量AB⊥向量BC,∴向量AB·向量BC＝0.
过E作EF∥BA交PA于F,作EG∥PA交AB于G.
∵PE＝BE,∴AF＝AP/2,AG＝AB/2.
由平行四边形法则,有：向量AE＝向量AF＋向量AG＝（1/2）向量AP＋（1/2）向量AB.
又向量PB＝向量AB－向量AP.
∴向量AE·向量PB
＝（1/2）向量AP·向量AB－（1/2）｜AP｜^2＋（1/2）｜AB｜^2－（1/2）向量AB·向量AP
＝（1/2）（｜AP｜^2－｜AB｜^2）
而AP＝AB,∴向量AE·向量PB＝0,∴AE⊥PB.
向量AE·向量BC＝（1/2）AP·向量BC＋（1/2）向量AB·向量BC＝0＋0＝0,∴AE⊥BC.
由AE⊥PB、AE⊥BC、PB∩BC＝B,得：AE⊥平面PBC.