如何用尺规作图做角的3分之1?

题目

如何用尺规作图做角的3分之1?

答案

首先明确两个概念：
有理数经有限次加、减、乘、除、开方得到的量,可以用尺规作出,这样的量叫“可作几何量”,否则叫“不可作几何量”.
以60°角为例来分析任意角的三等分问题.为把60°三等分,必然要用尺规作出cos20°或sin20°.以下三角恒等式是我们熟知的：
cos3x=4(cosx)^3-3cosx
将x＝20°代入得
4(cos20°)^3-3cos20°-(1/2)=0
将cos20°换成y,即是三次代数方程
4y^3-3y-(1/2)=0
这个三次方程的一个正实根当为其所需之解,然而,其中必然包含有理数的立方根,因而,y=3cos20°是一个“不可作几何量”.故尺规三等分角问题实为不能.
不可以
古希腊三大几何问题之一.
现已证明,在尺规作图的前提下,此题无解.