1=0+1

题目

1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
解释一下怎么得出第n个等式?

答案

1=0+1：1=0³+1³
2+3+4=1+8：(2-1)²+1+……+2²=1³+2³
5+6+7+8+9=8+27：(3-1)²+1+……+3²=2³+3³
推导出第n行：[(n-1)²+1]+[(n-1)²+2]+[(n-1)²+3]+……+(n²-1)+n²=(n-1)³+n³
规律：
等式左侧：每行共2n-1个数字,数字分别为[(n-1)²+1]至n²,
等式右侧：(n-1)³+n³
根据等差数列公式：Sn=(a1+an)·n/2可以推出
等式左侧={[(n-1)²+1]+n²})·(2n-1)/2=(n²-2n+2+n²)(2n-1)/2=(n²-n+1)(2n-1)=2n³-2n²+2n-n²+n-1=2n³-3n²+3n-1=n³+(n³-3n²+3n-1)=n³+(n-1)³