设a、b、m、n∈R+,且m+n=1,试比较根号ma+nb与m根号a+n根号b的大小

题目

设a、b、m、n∈R+,且m+n=1,试比较根号ma+nb与m根号a+n根号b的大小

答案

根号ma+nb平方后得：ma+nb为1式
m根号a+n根号b平方后得：m²a+n²b+2mn√ab为2式
由1式-2式得：
(m-m²)a+(n-n²)b-2mn√ab
把n=1-m代入得：
(n-n²)(a+b)-2mn√ab=(n-n²)(a+b)-2(1-n)n√ab=(n-n²)(a+b)-2(n-n²)√ab
=(n-n²)(a+b-2√ab)=(n-n²)(√a-√b)²
因为a、b、m、n∈R+,且m+n=1
所以(n-n²)>0.
(√a-√b)²>0
所以：1式-2式>0
即：1式>2式
所以：ma+nb>m²a+n²b+2mn√ab
所以：√ma+nb>m√a+n√b