求所有这样的自然数n,使得2^8+2^11+2^n是一个自然数的平方.

题目

求所有这样的自然数n,使得2^8+2^11+2^n是一个自然数的平方.

答案

我来试试吧.
不知道LZ数论方面知识懂多少.
2^8+2^11+2^n=2^8[1+8+2^(n-8)]=m²为偶数 （m∈N）
2^8=16².故9+2^(n-8)也是完全平方数
9+2^(n-8)为奇数
故9+2^(n-8) ≡1(mod4)
9≡1(mod4) 故2^(n-8) ≡0(mod4) ,n-8≥2,n≥10
设9+2^(n-8)=t² （t∈N）
2^(n-8)=t²-9=(t+3)(t-3)
由于2^(n-8)中只有因子2,故可以设t+3=2^p,t-3=2^q (p,q∈N)
q