已知圆台外切于球,圆台的侧面积和球面积之比为4比3,求圆台的体积与球的体积比.

题目

已知圆台外切于球,圆台的侧面积和球面积之比为4比3,求圆台的体积与球的体积比.

答案

设球的半径为r,圆台底圆半径为r1,顶圆半径为r2,底角为a,高为2r
则sina/2=r/r1,sin(π-a)/2=cosa/2=r/r2
所以(r/r1)^2+(r/r2)^2=1
圆台母线l=r1+r2
S圆台侧=π(r1+r2)l=π(r1+r2)^2 S球=4πr^2
所以(r1+r2)^2/4r^2=4/3
由两式可得r1r2=(根号(19/3)-1)r^2
r1^2+r2^2=(22/3-2根号(19/3))r^2
V圆台/V球=(1/3π*2r(r1^2+r1r2+r2^2))/(4/3πr^3)
化简得19/6-1/2根号(19/3)