已知α,β属于3π／4到π sin（α+β）=-3／5 sin（β—π／4）=12／13 求cos（α+π／4）=?

题目

已知α,β属于3π／4到π sin（α+β）=-3／5 sin（β—π／4）=12／13 求cos（α+π／4）=?

答案

α,β∈ [3π／4,π]
那么 α+β∈[3π/2,2π] 那么 cos(α+β)>0 所以cos(α+β)=√(1-sin²（α+β））=4/5
β-π/4 ∈[π/2,3π/4], cos(β-π/4)<0 所以cos(β-π/4)=√(1-cos²(β-π/4)）=-5/13
从而 cos（α+π／4）=cos[(α+β)-(β-π/4)]
=cos(α+β)cos(β-π/4)+sin(α+β)sin(β-π/4)
=4/5×（-5/13）+ （-3/5）×12/13
=-56/65