数学中重心的概念是什么?

题目

数学中重心的概念是什么?

答案

三角形的重心
　　重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例. 三角形重心已知：△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F.求证：F为AB中点.
　　证明：根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证.
　　重心的几条性质：
　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
　　3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.
　　4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
　　5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分.
　　证明：刚才证明三线交一时已证.
　　6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点.
其它规则图形的重心
　　注：下面的几何体都是均匀的,线段指细棒,平面图形指薄板.
　　三角形的重心就是三边中线的交点. 线段的重心就是线段的中点.
　　平行四边形的重心就是其两条对角线的交点,也是两对对边中点连线的交点.
　　平行六面体的重心就是其四条对角线的交点,也是六对对棱中点连线的交点,也是四对对面重心连线的交点.
　　圆的重心就是圆心,球的重心就是球心.
　　锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个.
　　四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点,也是每条棱与对棱中点确定平面的交点.
寻找重心的方法
　　下面是一些寻找形状不规则或质量不均匀物体重心的方法.
　　a.悬挂法
　　只适用于薄板（不一定均匀）.首先找一根细绳,在物体上找一点,用绳悬挂,划出物体静止后的重力线,同理再找一点悬挂,两条重力线的交点就是物体重心.
　　b.支撑法
　　只适用于细棒（不一定均匀）.用一个支点支撑物体,不断变化位置,越稳定的位置,越接近重心.
　　一种可能的变通方式是用两个支点支撑,然后施加较小的力使两个支点靠近,因为离重心近的支点摩擦力会大,所以物体会随之移动,使另一个支点更接近重心,如此可以找到重心的近似位置.
　　c.针顶法　同样只适用于薄板.用一根细针顶住板子的下面,当板子能够保持平衡,那么针顶的位置接近重心.
　　与支撑法同理,可用3根细针互相接近的方法,找到重心位置的范围,不过这就没有支撑法的变通方式那样方便了.
　　d.用铅垂线找重心（任意一图形,质地均匀）
　　用绳子找其一端点悬挂,后用铅垂线挂在此端点上（描下来）.而后用同样的方法作另一条线.两线交点即其重心.