已知a，b，c都是整数，当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时，那么代数式5a+7b-22c的值是否一定能被13整除，为什么？

题目

已知a，b，c都是整数，当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时，那么代数式5a+7b-22c的值是否一定能被13整除，为什么？

答案

设x，y，z，t是整数，
并且假设5a+7b-22c=x（7a+2b+3c）+13（ya+zb+tc）（1）
比较上式a，b，c的系数，
应当有7x+13y=52x+13z=7（2）
3x+13t=-22，取x=-3，
可以得到y=2，z=1，t=-1，
则有13（2a+b-c）-3（7a+2b+3c）=5a+7b-22c（3）
既然3（7a+2b+3c）和13（2a+b-c）都能被13整除，
5a+7b-22c就能被13整除．