求微分方程(x-1)dy-(1+y)dx=0满足初始条件y(0)=1的特解

求微分方程(x-1)dy-(1+y)dx=0满足初始条件y(0)=1的特解

题目
求微分方程(x-1)dy-(1+y)dx=0满足初始条件y(0)=1的特解
解法1:分离变量,dy/(1+y)=dx/(x-1)
两边积分,ln(1+y)=ln(x-1)+lnC
所以,方程的通解是y=C(x-1)-1
由y(0)=1得C=-2,所以,所求特解是y=-2(x-1)-1=1-2x
解法2:(x-1)dy-(1+y)dx=0
--->dy/(y+1)=dx/(x-1)
两边分别积分得 ln|y+1|=ln|x-1|+lnC
--->ln|y+1|=ln[C(x-1)|
--->|y+1|=C|x-1|
把x=0,y=1代入得 C=1.所以|y+1|=|x-1|
--->y+1=+'-(x-1)
--->y=x-2 or y=-x.
所以满足特解y(0)=1的特解是y=x-2, y=-x.
很郁闷这两个哪个对啊?观察了下就是在 加不加绝对值上出现问题 ?谢谢大家
答案
要先去绝对值,再确定C.因为去绝对值时可能会产生增根.
你的y=x-2明显不满足初始条件.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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