已知函数f(x)＝3sinxcosx−cos2x+1/2(x∈R)． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）在区间[0，π4]上的函数值的取值范围．

题目

已知函数f(x)＝

3

sinxcosx−cos2x+

1

2

(x∈R)．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

4

]上的函数值的取值范围．

答案

（1）因为f(x)＝

3

2

sin2x−

1

2

cos2x…（4分）
=sin(2x−

π

6

)…（6分）
故f（x）的最小正周期为π…（8分）
（2）当x∈[0，

π

4

]时，2x−

π

6

∈[−

π

6

，

π

3

]…（10分）
∴sin(2x−

π

6

)∈[−

1

2

，

3

2

]
故所求的值域为[−

1

2

，

3

2

]…（14分）

（1）先降幂扩角，再利用辅助角公式化简，进而可求函数f（x）的最小正周期；
（2）根据x∈[0，

π

4

]，可确定2x−

π

6

∈[−

π

6

，

π

3

]，从而可求函数f（x）在区间[0，

π

4

]上的函数值的取值范围．

本题考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本题重点考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，解题的关键是将函数式进行化简，利用三角函数的性质进行求解．