如果三角形ABC三个内角A,B,C成等差数列,那么cos^2 A+cos^2 C的最小值等于多少?

题目

如果三角形ABC三个内角A,B,C成等差数列,那么cos^2 A+cos^2 C的最小值等于多少?

答案

∵角A,角B,角C成等差数列===>2B=A+C,又A+C+B=180º===>B=60º
∴cos(A+C)=-cosB=-1/2
cos²A+cos²C =(cos2A+cos2C+2)/2
=[2cos(A+C)cos(A-C)+2]/2
=cos(A+C)cos(A-C)+1
=1-cos(A-C)/2
上式要有最小值,则cos(A-C)/2要取最大值,
即A=C=60°的时候,而cos0°=1 （此时公差为0）
所以上式的最小值是1/2