已知abc不等于零,且ａ+b／c=b+c/a=c+a/b,求(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值

题目

已知abc不等于零,且ａ+b／c=b+c/a=c+a/b,求(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值

答案

令k=a+b/c=b+c/a=a+c/b
则a+b=ck
b+c=ak
a+c=bk
相加
2(a+b+c)=k(a+b+c)
(a+b+c)(k-2)=0
若a+b+c=0,则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b
则(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=(-c)(-a)(-b)/abc
=-1
若k-2=0
k=2
则a+b=2c
b+c=2a
a+c=2b
则(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=2c*2a*2b/abc
=8
所以则(a+b)(b+c)(c+a)/abc=-1或8