设A,B,C均为非零向量,其中任意两个向量不共线,但 A＋B与C共线,B+C与A共线,试证 A+B+C=0

题目

设A,B,C均为非零向量,其中任意两个向量不共线,但 A＋B与C共线,B+C与A共线,试证 A+B+C=0

答案

因为A＋B与C共线,则存在实数x使A＋B=xC,
同理因为B+C与A共线,存在实数y使B+C=yA,
将第二个式子变成：B=-C+yA代入第一个式子得：A-C+yA=xC,
整理得(1+y)A-(1+x)C=0向量,则于A、C均为非零向量,且不共线,
则由平面向量基本定理或向量共线充要条件可得：1+y=0,1+x=0,所以x=y=-1,
所以A＋B=xC=-C,所以A+B+C=0.