在△ABC中,三个内角是A,B,C的对边分别是a,b,c,其中c=10,且cosA/cosB=b/a=4/3.(1)求证:△ABC是直角三角形;(2)设圆O过A,B,C三点,点P位于劣弧AC上,∠PA
题目
在△ABC中,三个内角是A,B,C的对边分别是a,b,c,其中c=10,且
==.
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)设圆O过A,B,C三点,点P位于劣弧AC上,∠PAB=60°,求四边形ABCP的面积.
答案
(1)证明:根据正弦定理得,
=.
整理为:sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,
因为0<A<π,0<B<π,所以0<2A<2π,0<2B<2π,所以A=B,或者A+B=
.
由于
=,所以A≠B,所以A+B=,即C=,
故△ABC是直角三角形.
(2)由(1)可得:a=6,b=8.
在Rt△ABC中,sin∠CAB=
=
,cos∠CAB=
sin∠PAC=sin(60°-∠CAB)
=sin60°cos∠CAB-cos60°sin∠CAB
=
×-×=(4-3).
连接PB,在Rt△APB中,AP=AB•cos∠PAB=5.
所以四边形ABCP的面积
S
四边形△ABCP=S
△ABC+S
△PAC=
ab+AP•AC•sin∠PAC=
24+×5×8×(4-3)=18+8.
(1)由题设条件
==.利用正弦定理可得
=.,整理得讨论知,A=B或者A+B=
.又
=,所以A+B=
.
由此可以得出,△ABC是直角三角形;
(2)将四边形ABCP的面积表示成两个三角形S
△ABC与S
△PAC的和,S
△ABC易求,S
△PAC需求出线段PA的长度与sin∠PAC的值,利用三角形的面积公式求解即可.
正弦定理;圆內接多边形的性质与判定.
本题第一问考查正弦定理与分类讨论的思想,第二问是探究型题,需分部来求四边形的面积,化整为零,先求局部再求整体,方法较好.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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