已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f[f（52）]的值是（　　） A.0 B.12 C.1 D.52

题目

已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f[f（

5

2

答案

若x≠0，xf（x+1）=（1+x）f（x），则有f（x+1）=

1+x

x

f（x），取x=-

1

2

，
则有：f（

1

2

）=f（-

1

2

+1）=

1− 1 2

− 1 2

f（-

1

2

）=-f（-

1

2

）=-f（

1

2

）
∵f（x）是偶函数，则f（-

1

2

）=f（

1

2

）
由此得f（

1

2

）=0．
于是，f（

5

2

）=f（

3

2

+1）=

1+ 3 2

3 2

f（

3

2

）=

5

3

f（

3

2

）=

5

3

f（

1

2

+1）=

5

3

[

1+ 1 2

1 2

]f（

1

2

）=5f（

1

2

）=0
故选：A．