若双曲线x29−y24=1的两条渐近线恰好是抛物线y=ax2+13的两条切线,则a的值为(  ) A.34 B.13 C.827 D.53

若双曲线x29−y24=1的两条渐近线恰好是抛物线y=ax2+13的两条切线,则a的值为(  ) A.34 B.13 C.827 D.53

题目
若双曲线
x2
9
y2
4
=1
的两条渐近线恰好是抛物线y=ax2+
1
3
的两条切线,则a的值为(  )
A.
3
4

B.
1
3

C.
8
27

D.
5
3
答案
由题得,双曲线
x2
9
y2
4
=1
的两条渐近线方程为y=±
2
3
x,又因为是抛物线y=ax2+
1
3
的两条切线
所以有
y= ±
2
3
x
y=ax2+
1
3
⇒ax2±
2
3
x+
1
3
=0对应△=
2
3
)
2
-4×
1
3
a=0
解得a=
1
3

故选 B.
先求出双曲线
x2
9
y2
4
=1
的两条渐近线方程,再与抛物线方程联立,利用相切找到对应的判别式为0即可求出a的值.

圆锥曲线的综合.

本题涉及到双曲线的两条渐近线方程的求法,在求双曲线的两条渐近线方程时,一定要先看焦点在X轴上还是焦点在Y轴上.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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