是否存在常数a，b，c，使得等式1（n2-12）+2（n2-22）+…+n（n2-n2）=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．

题目

是否存在常数a，b，c，使得等式1（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．

答案

假设存在a，b，c，使得所给等式成立．令n=1，2，3代入等式得a+b+c=016a+4b+c=381a+9b+c=18，解得a=14b=-14c=0以下用数学归纳法证明等式1（n2-12）+2（n2-22）+…+n（n2-n2）=14n4-14n2对一切正整数n都成立．（1）当n...