设a、b、c均为正实数,求证:三个数a+1/b,b+1/c,c+1/a中至少有一个不小于2.
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设a、b、c均为正实数,求证:三个数a+1/b,b+1/c,c+1/a中至少有一个不小于2.
题目
设a、b、c均为正实数,求证:三个数a+
1
b
答案
证明:假设
a+
1
b
,b+
1
c
,c+
1
a
都小于2,则
(a+
1
b
)+(b+
1
c
)+(c+
1
a
)<6
.
∵a、b、c∈R
+
,
∴
(a+
1
b
)+(b+
1
c
)+(c+
1
a
)
=
(a+
1
a
)+(b+
1
b
)+(c+
1
c
)≥2+2+2=6
,矛盾.
∴
a+
1
b
,b+
1
c
,c+
1
a
中至少有一个不小于2.
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