设三阶实对称矩阵A的特征值为1,1,-1且对应的特征值1的特征向量有(1,1,1),(2,2,1),求矩阵A

题目

设三阶实对称矩阵A的特征值为1,1,-1且对应的特征值1的特征向量有(1,1,1),(2,2,1),求矩阵A

答案

因为对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
所以若设属于特征值 -1 的特征向量为 (x1,x2,x3)^T
则有 x1+x2+x3=0
2x1+2x2+x3=0
方程组的基础解系为 ζ3=(1,-1,0)^T
所以属于特征值 -1 的特征向量为 c(1,-1,0)^T,c为非零常数.
令P=
1 2 1
1 2 -1
1 1 0
则P可逆,且 P^-1AP=diag(1,1,-1)
所以有 A = Pdiag(1,1,-1)P^-1 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
注:为避免求P的逆,可将特征值1的特征向量正交化,之后将3个向量单位化