如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点

题目

如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1；
（2）求PQ的长；
（3）求证:EF∥平面BB1D1D

答案

证明：（1）连结AC,则PQ//D1C.∵D1C⊂平面DCC1D1,PQ⊄平面DCC1D1,∴PQ∥平面DCC1D1；
（2）∵PQ=1/2D1C,D1C=√2a,∴PQ==√2/2a
（3）连结QE、QD1,则QE//DC且QE=1/2DC=1/2a、D1F//DC且D1F=1/2DC=1/2a.
∴QE//D1F且QE=D1F,∴四边形QEFD1是平行四边形.故EF//D1Q.
又∵EF⊄平面BB1D1D,D1Q⊂平面BB1D1D,
∴EF∥平面BB1D1D