椭圆2x的平方+y的平方=2,过椭圆一焦点的直线交椭圆于A,B两点,求三角形AOB面积的最大值

题目

椭圆2x的平方+y的平方=2,过椭圆一焦点的直线交椭圆于A,B两点,求三角形AOB面积的最大值

答案

记焦点为F,三角形AOB的面积,等于三角形AOF与三角形BOF的面积和,
三角形AOF的面积=c*A点的横坐标的绝对值/2
三角形BOF的面积=c*B点的横坐标的绝对值/2
所以,只要AB两点的横坐标的差的绝对值最大就行.
设AB:y=kx+1
联立,则(2+k^2)x^2+2kx-1=0
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=8(k^2+1)/(k^2+2)^2
设k^2+1=t
则,(x1-x2)^2=8t/(t+1)^2=8/(t+1/t+2)