[1+2的平方+…+(n-1)的平方] 为什么等于 [(n-1)n(2n-1)]/6

题目

[1+2的平方+…+(n-1)的平方] 为什么等于 [(n-1)n(2n-1)]/6

答案

n(n+1)(2n+1)/6
方法1：n^2=[(n+1)^3-n^3]/3-n-1/3
两边都从1到n求和
左边为所求
右边=[(n+1)^3]/3-n*(n+1)/2-n/3
=n*(n+1)*(2*n+1)/6
或者
先取一辅助数列：记为sigma(n)=1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1),将其配成这样：sigma(n)={1*2*(3- 0)+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n*(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/3=n*(n+1)*(n+2)/3,又Sn+ n*(n+1)/2=sigma(n),
所以Sn=sigma(n)-n*(n+1)/2=n*(n+1)*(2n+1)/6.
方法2：数学归纳法
n=2的时候,1＝(1*2*3)/6=1
如果对n－1的时候成立,则有1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＝(（n-1）n(2n-1))/6
那么对于n的时候
1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＋n的平方
＝((n-1)n(2n-1))/6+n*n
＝n/6*(2n^2-3n+1+6n)
＝n/6*(n+1)(2n+1)
＝[(n+1-1)(n+1)(2(n+1)-1)]/6
所以对n的时候也成立
由以上,可以知道1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＝(（n-1）n(2n-1))/6
方法3：待定系数法
设1^2+2^2+...+n^2=a*n^3+b*n^2+c*n
将n=1、2、3分别代入,解方程组可得a=1/3
b=1/2
c=1/6