如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成个k完全平方数的和,那么k等于多少?

题目

如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成个k完全平方数的和,那么k等于多少?
由已知3n+1是一个完全平方数,
所以我们就设3n+1=a^2,
显然a^2不是3的倍数,于是a=3k±1,
从而3n+1=a^2=9k^2±6k+1,n=3k^2±2k
即n+1=2k^2+(k±1)^2,所以k的最小值是3.
2.为什么a^2不是3的倍数,那么a=3k±1
3.“n+1都能表示成个k完全平方数的和”这个条件可以得出什么?

答案

1.a^2 就是a的平方.a^2 = a×a
2.为什么a^2不是3的倍数,那么a=3K±1?
因为任何自然数,
被3除的余数只有0、1、2这3种.
它是3的倍数的话,余数为0,这个自然数就可以表示成3K （K是自然数）
它不是3的倍数,除3余数为1,这个自然数就可以表示成3K +1
它不是3的倍数,除3余数为2,这个自然数就可以表示成3K + 2 （K是自然数）或者3K - 1 （K是大于1的自然数）
因此不是3的倍数的自然数a,可以统一表示成3K±1
3.“n+1都能表示成个k完全平方数的和”这个条件可以得出什么?
这里题目有问题,应该是：n+1都能表示成k个完全平方数的和.
从n+1 = 2K^2+(K±1)^2 = K^2 + K^2 + (K±1)^2 ,可以看出
n+1 可以表示成3个完全平方数K^2、K^2、(K±1)^2 的和.
因此k=3
这里需要说明的是,K是答题时设的未知常量,可以替换成其他字母如X,不是题目中需要求的k,别把k=3误认为K=3.并建议在答题时不要把未知常量设成与问题里的字母重复.